人工智能：4.4    证 据 理 论

 

证据理论又称为 Dempster – Shafer
理论或信任函 数理论，通常简称为 D –S 理论 。 证 据 理 论 是 经 典 概 率 论 的 一 种 扩 充 形 式 。 证 据 理 论 是 由 德 普 斯 特

(A.P.Dempster) 首先提出，由沙佛(G.Shafer) 进一步发展起来的一种处理不确定性的理论 。1981 年巴纳特(J.A.Barnett) 把该理论引入专家系统中 ，同年卡威(J.Garvey)
等人用它实现了不确定性推理 。由于该理论满足比概率论弱的公理 ，能够区分 “不确定”与“不知道”的差异，并能处理由   “不知道”引起的不确定性，具有较大的灵活性，因而受到了人们的重视。

 

4.4.1                      
知识的不确定表示

证据理论是用集合表示 命题的。设 D 是变量 x 所有可能取值的集合，且 D 中的元素是互斥的，在任 一 时刻 x 都取只能 取 D
中的 某 一个元素为值，则称 D 为 x 的样本空间。在证据理论中 ，D 的任何一个子集 A
都 对应于一个关于 x 的命题，称该命题为“x 
的值在 A 
中”。例如，在医疗诊断系统中，用  x  代表 病人的某种 疾病，若 D={ 感冒，支气管炎，鼻炎} ，则 A ＝ { 感冒} 表 示“ x 的值是感冒”或者“该病人所患的疾病 为 感冒” ； A
＝ { 感冒，支气管炎} 表 示“该病人所患的疾病 为 感冒或者支气管炎” 。又如，用 x 代表所看到的颜色， D ＝ {red ，yellow ，blue} ，则 A

＝ {red}
表示“ x 是红色” ； 若 A
＝ {red ，
blue } ，则它表示“ x 或者是红色，或者是蓝色” 。证据理论中，为了描述和处理不确定性，引
入 了概率分配函数，信任函数及似然函数等概 念。

 

 

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1. 概率分配函数

第 4 章   不确定推理

设 D 为样本空间，领域内的命题都
用 D 的子集表示
，则概率分配函数

(Function of Probability
Assignment) 定义如下。

定义 4.1   设函数 M
：2 ^D ® [0 ， 1] ，且满足

M(<l) ＝ 0

å M ( A) =1

AÍ D

则称
M 是 2
^D上的概率分配函数， M(A ) 称为 A
的基本概率 函 数(Function of Basic Probability Assignment) ，即对于对于 样本空间 D
的任一子集都分配一个 概率 值。

关于 这个定义有以下几点说明。

(1)     
设样本空间 D 中有 n 个元素 ，则 D 中子集的个数为 2 ⁿ 个 ，例如 ，设 D={red， yellow ， blue} ，则它的子集有

A_l ＝{red}                    A₂ ＝{yellow}        A₃ ＝{blue}

A₄ ＝{red ， yellow}            A₅ ＝{red ， blue}       A₆ ＝{yellow ， blue }

A₇={red，yellow ， blue}      A₈ ＝{ <l}

其中， <l 表示空集，子集的个数刚好是 2 ³=8 个

(2)      概率分配函数的作用是把 D 的任意一个子集 A 都映射为[0,1] 上的一个数

M(A ) 。当 A
Ì D 时， M(A ) 表示对相应命题的精确信任度。例如，设

A
＝{red}

M(A )=0.3

它表示对命题“x 
是红色”的精确信任度是 0.3 。又如，设

B
={red，
yellow}

M(B )=0.2

它表示对命题“x 
或者是红色，或者是黄 色”的精确信任度是 0.2 。由此可见， 概率分配函 数实 际上是对 D 的各个子集进行信任分配， M (A ) 表示分配给 A 的那一部分。当 A 由多个元 素组成时
，M (A ) 不包括对 A
的子集的精确信任度，而且也不知道该对它如何进行分配 。例如，在 M ({red，yellow}) ＝0.2 中不包括对 A ={ 红}
的 精确信任度 0.3 ，而且也不知道该把这个 0.2 分配给{red} 还是 分配给{yellow} 。当 A ＝ D 时 ，M(A ) 是对 D 的各子集进行信任分配后剩下的部分，它表示不知道该对 这部分如何进行分配。例如，当 M(D)=
M({red， yellow ，blue }) ＝0.1 时，它表

 

・79 ・

人工智能技术与方法

示不知道该对这个 0. 1 如 何分配，但它不是属 于{red}
，就一定属于{yellow}
或

{blue} ，只是由于存在某些未知信息，不知道应该如何分配。

(3)      概率分配函数不是概率。例如，设 D ＝ {red ，yellow ， blue} ，且设：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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第 4 章   不确定推理

 

M({red})=0.3                      M({yellow})=0           M({blue})=0.1
M({red，yellow})=0.2                                      M({red，blue})=0.2     M({yellow ，blue})=0.1 M({red，yellow ， blue})=0.1                         M(<l)=0

显然， M 符合概率分配函数的定义，但是

M({red})+M({yellow})+M({blue})=0.4

若按概率的要求，这三者的和应等于
1 。

2．信任函数

定义 4.2    设函数 Bel:2^D ® [0 ， 1] ， 且

Bel(A )= åM (B)

BÍ A

(A Î 2^D)

则称为命 题 A 的 信任函数(Function
of Belief) ，即命 题 A 的 信任函数
值，就是 A 的所有子集的基本概率分配 函数 之和，用来表示对 A 的总信任。Bel 函数又称为下限函数，以 Bel(A ) 表示对命题
A 为真的
信任 程度。

由信任函数及概率分配函数的定义可以证明信任函数有如下性质 ：

(1) Bel(<l)=M( <l)=0 ， Bel(D) ＝ å M ( B) =1 ，且对于 2 ^D中的任意元素 A ，有

BÍ D

0≤Bel(A )≤1
；

(2)     当 A 为单元素集，即|A |=1 时 ，B el(A) ＝ M(A )；

(3)     
信任函数为递增函数， A ₁ Í
A ₂ Í
D ，则 Bel(A₁)≤Bel (A ₂)≤1 。根据前面例中给出的数据，可以求得

Bel({red}) = M({red})
= 0.3

Bel({red， yellow})=M({red})+M({yellow})+M({red，yellow})=0.3+0+0.2=0.5

Bel({red， yellow ，blue}) ＝ M({re d})+M({yellow})+M({blue})

+ M({red，yellow})+M({red，blue
})

+M({yellow ， blue })+ M({red， yellow ，blue})

=0.3 + 0 + 0.1 + 0.2 +
0.2 + 0.1 + 0.1 = 1

3．似然函数

似然函数(Plausible
Function) 又称为不可驳斥函数或上限函数 ，下面给出它的定义。

定义 4.3   似然函数 Pl ：2 ^D ® [0 ， 1] ，且

 

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人工智能技术与方法

P
l(A)=1