一阶谓词逻辑证据证明

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对于谓词逻辑的推理,已经开发了诸如Gentzen演算或后续演算的各种自然推理的演算。顾名思义,这些结石意味着人类应用,因为推理规则更多

1.  
证据证明41

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3.2 具有模态推理和量词消除的简单证明

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WB 1孩子(夏娃,安妮,奥斯卡)

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WB 2 X Ÿ ž子(XYZ子(XZY

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E2 X /前夕,Y /安,Z /奥斯卡3子(前夕,安,奥斯卡)子(前夕,奥斯卡,安)MP134子(前夕,奥斯卡,安)

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或者不太直观,并且计算适用于任意PL1公式。在下一节中,我们将主要集中于解决方案演算,这在实践中是对于合并正规形式的公式最重要的有效,可自动化的演算。在这里,使用第 35 页的例 3.2 我们将给出一个非常小的自然证据。我们使用推理规则

AA

modus ponensMPxA .

A [ x / t ]

消除E)。

从命题逻辑中已经熟悉了这种模式。在消除通用量词时,必须记住量化变量x必须由基础项t代替,这意味着一个不包含变量的项。表3.2 列出了适当减少知识基础的儿童证据(前夕,奥斯卡,安妮)

减少知识库的两个公式列在第1行和第2行中。在第3行中,第2行中的通用量词被消除,而在第4行中,权利要求是通过模态推导得出的。

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由两个给定的推理规则组成的微积分是不完整的。但是,可以通过添加其他推理规则将其扩展为完整的过程。这个非常重要的事实对于数学和人工智能具有根本重要性。奥地利逻辑学家库尔特哥德尔在1931年证实了[Göd31a]

 

定理3.3(哥德尔完备性定理)一阶谓词逻辑是完整的也就是说每一个命题都是一个微积分

可以证明知识库KB的结果如果KB | φ 然后它成立

 

KBφ

因此,一阶谓词逻辑中的每个真正命题都是可证明的。但反过来也是如此吗?我们在句法上可以得出的一切真的是真的吗?答案是

 

定理3.4 (正确性)有一些结石只能证明真正的命题也就是说如果KBφ成立KB | φ

 

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3.3 通用逻辑机器

 

事实上,几乎所有已知的结石都是正确的。毕竟,使用不正确的证明方法毫无意义。因此,只要使用正确和完整的微积分,可证明性和语义结果就是等同的概念。因此,一阶谓词逻辑成为数学和AI的强大工具。上述自然演绎的结石相当不适合自动化。只有1965年引入的解决方案微积分基本上只与一个简单的推理规则一起工作,才能构建强大的自动化原型证明,后来被用作专家系统的推理机器。

 

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