人工智能：2.2 谓词逻辑表示
人类智能的一个杰出方面是人类具有逻辑思维能力，为了使机器具有逻辑思维能力，就需要使用一种语言将思想或概念加以形
式化表达。数理逻辑是一种类自然语言的形式化语言，它采用符号来研究人类的逻辑与推理，是人工智能的重要理论基础之一。数理逻辑主要包括有命题逻辑和谓词逻辑。
2.2.1
命题逻辑
定义 2.1 命 题(Statement or Propositions )
是具有确定真假意义的陈述 句( 断言)
。
命题是人们思维过程中具有明确的意义的一种判断，命题的意义称为真值， 只有真假两种情况，即真值要么是真( 记作T ) 、要么是假( 记作F ) ，不能二者都是，
以下是一些命题。
(a) P ： 太阳从东边升起。
(b) Q ： 人工智能是计算机专 业的课程之一。
(c) R ： 今天有小雨。
命题在一定的条件下为真，在另外一种条件下可以为假，如上面的命题( C) ，
・16 ・
第 2 章 知识表示
其真值需要根据当天的情况来决定。命题通过一些连接词可以构成新的命题，这些 连 接 词 有 ： 反 (Negation)
、 合 取 (
Conjunction) 、 析 取 (Disjunction)
、 蕴 涵
(Implication)、等价(Equivalence ) ，它们的真值表如表 2.1
所示。
表 2.1 真值表
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P
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Q
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Ø P
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P∨Q
|
P∧Q
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P® Q
|
P « Q
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T
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T
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F
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T
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T
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T
|
T
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|
T
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F
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F
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T
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F
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F
|
F
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|
F
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T
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T
|
T
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F
|
T
|
F
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|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
例 2.1 试用命题逻辑来表示如下知识 ：
(1) 若明天不是雨夹雪，则去学校 ；
(2) 若明天不下雨并且不下雪，则去学校 ；
(3) 若明天下雨或下雪，则不去学校 ；
(4) 明天，我将雨雪无阻，一定要去学校。
解 设 P 表示明天下雨 ； Q 表示明天下雪；R 表示我去学校，则
(1) 若明天不是雨夹雪，则去学校：
¬(P ∧Q) ® R
(2) 若明天不下雨并且不下雪，则去学校 ：
¬P ∧¬ Q ® R
(3) 若明天下雨或下雪，则不去学校 ：
P ∨Q
® ¬R
(4) 明天，我将雨雪无阻，一定要去 学校 ：
(P
∧Q ∧R ) ∨(¬P ∧Q ∧R
) ∨(P
∧¬Q ∧R
) ∨(¬P ∧¬Q ∧R )
以上的命题表示可以是多种多样 ，但是 ，这些命题公式的真值应该是相同的，
也就是说，同一个真值表可能会代表许多命题公式。可以按真值表是否相同来对 公式进行分类，同一类中的公式之间，彼此是等价的，下面是两个公式等价的定 义。
定义 2.2 设 A 和 B 是两个命题公式，如果 A 、B 在其任意解释下，其真值都是相同的，则称 A 和 B 是等价的，或逻辑相等，记作 A ÛB ，读作 A
等价 B ，
・17 ・
人工智能技术与方法
称 A
ÛB 为等价式。
显然，若公式 A 和 B 的真值表是相同的，则 A
和 B 等价。因此，验 证两公式是否等价，只需作出它们的真值表即可。等价式有下列性质。
(1) 自反性： 对于任意的公式 A ，有 A Û A 。
(2) 对称性： 对于任意的公式 A 和 B ，若 A ÛB ，则 B ÛA 。
(3) 传递性： 对于任意的公式 A 、B 和 C ，若 A ÛB 、B Û C ，则 A Û C 。
有一些简单而常用的等价式，称为基本等价式或命题定律，下面是一些主要的命题定律，其中， P 、Q
、R 为命题。
(1) 双否定： ¬ (¬P ) Û P
(2) DeMorgan 律： ¬ ( P ∨Q ) Û ¬P ∧¬Q ， ¬( P ∧Q ) Û ¬P ∨¬Q
(3) 交换律： P ∧Q Û Q∧P ， P ∨Q Û Q∨P
(4) 结合律： P
∧(Q∧R ) Û (P ∧Q)∧R ， P ∨(Q∨R ) Û (P ∨Q)∨R (5) 分配律： P ∧(Q∨R ) Û (P
∧Q)∨(P ∧R )
P ∨(Q∧R
) Û (P ∨Q)∧(P
∨R )
，
(6)
等幂律： P ∧P Û P ， P ∨P Û P
(7)
同一律： P ∧T* Û P ， P ∨F * Û P
(8) 零 律： P
∧F * Û F * ， P ∨T* Û T*
(9) 互补律： P ∧¬ P Û F * ， P ∨¬ P Û T*
(10) 吸收律： P ∨(P ∧Q) Û P ， P ∧(P ∨Q) Û P
定义 2.3 设 A 和 B 是两个公式，若 A ® B 是永真 式，则称 A
蕴涵 B ，记作
A Þ B 。
可以用真值表的方法来判断蕴涵式是否成立，即列出 A ® B 的真值表，如果A ® B 在一切解释下均为真，则说明 A Þ B 。通过命题公式的等价或蕴涵关系，可以完成逻辑中的一些推理任务，以下是几个主要的推理式。
r1 ：P
P ® Q Q
r2 ：P ® Q
Q® R P ® R
[ P∧( P ® Q )]
Þ Q
[( P ® Q )∧(Q ® R)] Þ (P ® R)
假言推理
假言三段论或演绎
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r3 ：P ® Q
ØQ
ØP
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||||||||||||||||
r4：P∧Q P
[( P
® Q )∧(ØQ)] Þ ØP
[( P∧Q)] Þ P
拒取式简化式
第 2 章 知识表示
例 2.2 试考虑如下论证：
前提 1 如果这里有球赛，则通行是困难的。
前提 2 如果他们按时到达，则通行是不困难的。
前提 3 他们按时到达了。结论 所以这里没有球赛。
解 设 P 表示这里有球赛。Q 表示通行是困难的。R 表示按时到达。于是， 需要论证的问题可以描述为如下的命题逻辑结构形式 。
P ®
Q
R ® ¬Q R
ØP
( P ® Q)∧( R ® ØQ) ∧R ® ØP
运用推理规则来证明以上的论证，即
|
步骤
①
②
|
断言( 真)
R
R ® ¬Q
|
根 据
P, 前提 3
P, 前提 2
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③
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¬Q
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①
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④
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P ® Q
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前提
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⑤
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¬Q ® ¬P
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④
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⑥
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¬P
|
③
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人工智能技术与方法
命题逻辑表示方法简单、明确，命题演算的基本单位是命题，不再对原子命题进行分解，故无法研究命题语句的结构、成分和内在的逻辑特征，存在着局限性。
2.2.2
谓词逻辑
谓词逻辑演算是对命题演算的进一步扩展，它能够深入研究更复杂的一些问 题。一个谓词可分为谓词名和个体两个部分，谓词个体表示独立存在的事物或某
个抽象概念，谓词名则用来表示个体的性质、状态或个体之间的相互关系。比如，
命题“李明是学生”，可用谓词表示为 Student(Li
Ming) ，这里 Li
Ming
是个体，代表命题中的李明这个人，而 Student 是谓词名，反映了个体是学生这一特征。
谓词的一般形式可以定义如下。
P(x1,・, xn )：
Dn® {T, F}
其中 ，x 1, ⋯,x n是个体变元；P
是谓词名，它用来刻画个体的性质或关系，是个体域 D{x i} 到真值
T/F 上的一个映射。所讨论对象个体的全体为论域，常常也称为个体域。
命题逻辑中的连接词同样也可以用于谓词逻辑中，将原公式组合成比较复杂 的合适公式。此外，谓词逻辑还有 2
个量词，用于对谓词中的个体作出量的规定， 一个是全称量词，表示“所有的”、“任一个”等，记作“ ；另一个是存在量词，表示“至
少有一个”、“存在有一个”等，记作$ 。
1. 谓词逻辑表示法
下面通过几个例子来说明谓词逻辑的表示方法。
例 2.3 设
F (x ) 表示“x 不怕死”， D(x )表示“x 是要死的”，
M(x) 表示“x 是人”，试用谓词逻辑表示。
解 (1) 设论域是全人类，则
(a) 人总要死的： “xD (x )
(b) 有些人不怕死： $xF(x)
(2) 设论域是全个体，则
(a) 人总要死的： “x ( M(x ) ® D(x ) )
(b) 有些人不怕死： $x ( M(x)∧D(x )
)
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第 2 章 知识表示
在使用谓词公式来表示知识时，首先需要选择合适的谓词，即定义谓词，指出每个谓词的确切含义。然后，用连接词把有关的谓词连接起来，形成一个谓词公式，由此可以表达一个完整的意义。谓词逻辑不仅可以用来表示个体的性质和状态，还可以表示事物的因果关系，此时通常用蕴涵式来表示。
例 2.4 设有下列知识：
(1) 刘欢比刘迎出名。
(2) 李明是计算机系的一名学生，但他不喜欢编程序。
(3)
教师都有自己的学生。试用谓词逻辑表示。
解 (1) 定义谓词：
FAMOUS(x ，y )： x 比 y
出 名
则有谓词公式
FAMOUS (L iu Huan, Liu Ying)
(2) 定义谓词：
COMPUTER(x)： x 是计算机系的学生
LIKE (x ，y )： x 喜欢 y
则有谓词公式
COMPUTER(Li Ming) ∧¬LIKE(Li Ming,
programing)
(3) 定义谓词：
TEACHER(x )： x 是教师
STUDENT(y )： y 是学生
TEACHESR(x ，y )： x 是 y 的老师
则有谓词公式
(“x ) ($y
) (
TEACHER(x ) ® TEACHER(x ，y
)∧STUDENT
(y ) )
2. 谓词逻辑表示法的特点
(1) 自然性： 接近于自然语言的形式语言，容易接受和理解。
(2) 精确性：
谓词公式真值为二值逻辑，可表示精确知识，保证经演绎推理所得结论的精确性。
(3) 严密性： 谓词逻辑具有严格的形式定义及推理规则，利用这些推理规则
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人工智能技术与方法
及有关定理证明技术，可从已知事实推出新的事实，或证明作出的假设。
(4) 容易实现：
用谓词逻辑表示的知识可以比较容易地转换为计算机的内部形式，易于模块化，便于对知识的增加、删除及修改。用它表示知识所进行
的自然演绎推理及归结演绎推理都易于在计算机上实现。
3. 谓词逻辑表示法的局限性
(1) 不能揭示不确定性的知识 ： 谓词逻辑只能表示精确性的知识，不能表示不精确、模糊性的知识，但人类的知识大多都不同程度地具有不确定性，这就使得它表示知识的范围受到了限制。
(2) 易形成组合爆炸 ： 在其推理过程中，随着事实数目的增大及盲目地使用
推理规则，有可能形成组合爆炸。目前，在这一方面做了大量的研究工作，如定义一个过程或启发式控制策略来选取合适的规则。
(3) 效率低：
用谓词逻辑表示知识时，其推理是根据形式逻辑进行的，把推理 与知识的语义割裂开来了，就会使得推理过程冗长，降低了系统的效率。
尽管谓词逻辑表示法有以上一些局限性，但它仍是一种重要的知识表示方
法。
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